已知函数f(x)=a(x-1x)-2lnx(a∈R).(1)若a=2,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(
已知函数f(x)=a(x-1x)-2lnx(a∈R).(1)若a=2,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)求函数f(x)的单调区间;(3)设函数g(...
已知函数f(x)=a(x-1x)-2lnx(a∈R).(1)若a=2,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)求函数f(x)的单调区间;(3)设函数g(x)=-ax.若至少存在一个x0∈[1,e],使得f(x0)>g(x0)成立,求实数a的取值范围.
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函数的定义域为(0,+∞),f′(x)=a(1+
)-
=
.
(1)当a=2时,函数f(x)=2(x-
)-2lnx,f′(x)=
,
因为f(1)=0,f'(1)=2.
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-0=2(x-1),即2x-y-2=0.
(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞).
①当a≤0时,h(x)=ax2-2x+a<0在(0,+∞)上恒成立,
则f'(x)<0在(0,+∞)上恒成立,
此时f(x)在(0,+∞)上单调递减.
②当a>0时,△=4-4a2,
(ⅰ)若0<a<1,
由f'(x)>0,即h(x)>0,得x<
或x>
;
由f'(x)<0,即h(x)<0,得
<x<
.
所以函数f(x)的单调递增区间为(0,
)和(
1 |
x2 |
2 |
x |
ax2-2x+a |
x2 |
(1)当a=2时,函数f(x)=2(x-
1 |
x |
2x2-2x+2 |
x2 |
因为f(1)=0,f'(1)=2.
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-0=2(x-1),即2x-y-2=0.
(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞).
①当a≤0时,h(x)=ax2-2x+a<0在(0,+∞)上恒成立,
则f'(x)<0在(0,+∞)上恒成立,
此时f(x)在(0,+∞)上单调递减.
②当a>0时,△=4-4a2,
(ⅰ)若0<a<1,
由f'(x)>0,即h(x)>0,得x<
1-
| ||
a |
1+
| ||
a |
由f'(x)<0,即h(x)<0,得
1-
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a |
1+
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a |
所以函数f(x)的单调递增区间为(0,
1-
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a |
1+
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