Question

设椭圆中心在坐标原点，A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相

设椭圆中心在坐标原点，A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．（Ⅰ）若ED＝6DF，求k的值；（Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）依题设得椭圆的方程为

x2

4

+y2＝1，
直线AB，EF的方程分别为x+2y=2，y=kx（k＞0）．
如图，设D（x₀，kx₀），E（x₁，kx₁），F（x₂，kx₂），其中x₁＜x₂，

且x₁，x₂满足方程（1+4k²）x²=4，
故x2＝?x1＝

2

1+4k2

．①
由

ED

＝6

DF

知x₀-x₁=6（x₂-x₀），得x0＝

1

7

(6x2+x1)＝

5

7

x2＝

10

7 1+4k2

；
由D在AB上知x₀+2kx₀=2，得x0＝

2

1+2k

．
所以

2

1+2k

＝

10

7 1+4k2

，
化简得24k²-25k+6=0，
解得k＝

2

3

或

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