设函数f（x）=ex-ax+a（a∈R），其图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＜x2．（1）求a的取值
设函数f（x）=ex-ax+a（a∈R），其图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＜x2．（1）求a的取值范围；（2）证明：f′（x1x2）＜0（f′（...
设函数f（x）=ex-ax+a（a∈R），其图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＜x2．（1）求a的取值范围；（2）证明：f′（x1x2）＜0（f′（x）为函数f（x）的导函数）；（3）设点C在函数y=f（x）的图象上，且△ABC为等腰直角三角形，记x2-1x1-1=t，求（a-1）（t-1）的值．
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（1）∵f（x）=ex-ax+a，
∴f'（x）=ex-a，
若a≤0，则f'（x）＞0，则函数f（x）是单调增函数，这与题设矛盾．
∴a＞0，令f'（x）=0，则x=lna，
当f'（x）＜0时，x＜lna，f（x）是单调减函数，
当f'（x）＞0时，x＞lna，f（x）是单调增函数，
于是当x=lna时，f（x）取得极小值，
∵函数f（x）=ex-ax+a（a∈R）的图象与x轴交于两点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2），
∴f（lna）=a（2-lna）＜0，即a＞e2，
此时，存在1＜lna，f（1）=e＞0，
存在3lna＞lna，f（3lna）=a3-3alna+a＞a3-3a2+a＞0，
又由f（x）在（-∞，lna）及（lna，+∞）上的单调性及曲线在R上不间断，
可知a＞e2为所求取值范围．
（2）∵
，
∴两式相减得a=
．
记
=s(s＞0)，则f′(
)=e
-
=
[2s-(es-e-s)]，
设g（s）=2s-（es-e-s），
则g'（s）=2-（es+e-s）＜0，
∴g（s）是单调减函数，
则有g（s）＜g（0）=0，而
＞0，
∴f′(
)＜0．
又f'（x）=ex-a是单调增函数，且
＞
∴f′(
)＜0．
（3）依题意有exi-axi+a=0，则a(xi-1)=exi＞0?xi＞1（i=1，2）．
于是e
=a
，在等腰三角形ABC中，显然C=90°，
∴x0=
∈(x1 ，x2)，即y0=f（x0）＜0，
由直角三角形斜边的中线性质，可知
=-y0，
∴y0+
=0，
即e
-
(x1+x2)+a+
=0，
∴a
-
(x1+x2)+a+
=0，
即a
-
[(x1-1)+(x2-1)]+
=0．
∵x1-1≠0，则a
-
(1+
)+
∴f'（x）=ex-a，
若a≤0，则f'（x）＞0，则函数f（x）是单调增函数，这与题设矛盾．
∴a＞0，令f'（x）=0，则x=lna，
当f'（x）＜0时，x＜lna，f（x）是单调减函数，
当f'（x）＞0时，x＞lna，f（x）是单调增函数，
于是当x=lna时，f（x）取得极小值，
∵函数f（x）=ex-ax+a（a∈R）的图象与x轴交于两点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2），
∴f（lna）=a（2-lna）＜0，即a＞e2，
此时，存在1＜lna，f（1）=e＞0，
存在3lna＞lna，f（3lna）=a3-3alna+a＞a3-3a2+a＞0，
又由f（x）在（-∞，lna）及（lna，+∞）上的单调性及曲线在R上不间断，
可知a＞e2为所求取值范围．
（2）∵
|
∴两式相减得a=
| ex2-ex1 |
| x2-x1 |
记
| x2-x1 |
| 2 |
| x1+x2 |
| 2 |
| x1+x2 |
| 2 |
| ex2-ex1 |
| x2-x1 |
e
| ||
| 2s |
设g（s）=2s-（es-e-s），
则g'（s）=2-（es+e-s）＜0，
∴g（s）是单调减函数，
则有g（s）＜g（0）=0，而
e
| ||
| 2s |
∴f′(
| x1+x2 |
| 2 |
又f'（x）=ex-a是单调增函数，且
| x1+x2 |
| 2 |
| x1x2 |
∴f′(
| x1x2 |
（3）依题意有exi-axi+a=0，则a(xi-1)=exi＞0?xi＞1（i=1，2）．
于是e
| x1+x2 |
| 2 |
| (x1-1)(x2-1) |
∴x0=
| x1+x2 |
| 2 |
由直角三角形斜边的中线性质，可知
| x2-x1 |
| 2 |
∴y0+
| x2-x1 |
| 2 |
即e
| x1+x2 |
| 2 |
| a |
| 2 |
| x2-x1 |
| 2 |
∴a
| (x1-1)(x2-1) |
| a |
| 2 |
| x2-x1 |
| 2 |
即a
| (x1-1)(x2-1) |
| a |
| 2 |
| (x2-1)-(x1-1) |
| 2 |
∵x1-1≠0，则a
|
| a |
| 2 |
| x2-1 |
| x1-1 |
