Question

在三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB（1）求B角大小；（2）若b=2，求三

在三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB（1）求B角大小；（2）若b=2，求三角形ABC面积的最大值．

Answer 1

（1）∵a=bcosC+csinB，
∴根据正弦定理，得sinA=sinBcosC+sinBsinC…①，
又∵sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC…②，
∴比较①②，可得sinB=cosB，即tanB=1，
结合B为三角形的内角，可得B=45°；
（2）∵△ABC中，b=2，B=45°，
∴根据余弦定理b²=a²+c²-2accosB，可得a²+c²-2accos45°=4，
化简可得a²+c²-

2

ac=4，
∵a²+c²≥2ac，∴4=a²+c²-

2

ac≥（2-

2

）ac．
由此可得ac≤

4

2- 2

=4+2

2

，当且仅当a=c时等号成立．
∴△ABC面积S=

1

2

acsinB=

2

4

ac≤

2

4

（4+2

2

）=

2

+1．
综上所述，当且仅当a=c时，△ABC面积S的最大值为

2

+1．