Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=43x+8分别交x轴，y轴于点A，C，点D（m，4）在直线AC上，点B在x轴正半轴

如图，在平面直角坐标系中，直线y=43x+8分别交x轴，y轴于点A，C，点D（m，4）在直线AC上，点B在x轴正半轴上，且OB=2OC．点E是y轴上任意一点，连结DE，将线段DE按顺时针旋转90°得线段DG，作正方形DEFG，记点E为（0，n）．（1）求点D的坐标；（2）记正方形DEFG的面积为S，①求S关于n的函数关系式；②当DF∥x轴时，求S的值；（3）是否存在n的值，使正方形的顶点F或G落在△ABC的边上？若存在，求出所有满足条件的n的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）∵点D（m，4）在直线AC上；
∴4=

4

3

m+8，
解得m=-3．
∴点D的坐标为（-3，4）；
（2）①如图1，过点D作DH⊥y轴于H，则EH=|n-4|
∴S=DE²=EH²+DH²=（n-4）²+9；
②当DF∥x轴时，点H即为正方形DEFG的中心，
∴EH=DH=3，
∴n=4+3=7，
∴S=（7-4）²+9=18；
（3）∵OB=2OC=16，
∴B为（16，0），
∴BC为：y=-

1

2

x+8；
①当点F落在BC边上时，如图2，
作DM⊥y轴于M，FN⊥y轴于N，
在△DEM与△EFN中，

∠DME=∠ENF=90° ∠DEM=∠EFN DE=EF

，
∴△DEM≌△EFN（AAS），
∴NF=EM=n-4，EN=DM=3
∴F为（n-4，n-3）
∴n-3=-

1

2

（n-4）+8，
∴n=

26

3

；
②当点G落在BC边上时，如图3，
作DM⊥y轴于M，GN⊥DM轴于N，
由①同理可得△DEM≌△GDN，
∴GN=DM=3，DN=EM=n-4，
∴点G纵坐标为1，
∴1=-

1

2

x+8，
∴x=14，
∴DN=14+3=17=n-4，
∴n=21；
③当点F落在AB边上时，如图4，
作DM⊥y轴于M，
由①同理可得△DEM≌△EFO，
∴OE=DM=3，
即n=3；
④当点G落在AC边上时，如图5，
∵∠CDE=∠AOC=90°，∠DCE=∠OCA，
∴△DCE∽△OCA，
∴

CE

AC

=

CD

OC

，
∴

8-n

10

=

5

8

，
∴n=

7

4

，
显然，点G不落在AB边上，点F不落在AC边上，故只存在以上四种情况．
综上可得，当n=

26

3

或21或3或

7

4

时，正方形的顶点F或G落在△ABC的边上．