Question

已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A(-1,0)和B(2,0)两点与Y轴交于C(0,-2)。

（1）求这条抛物线的解析式顶点M的坐标

（2）求四边形ABQC的坐标
（3）在对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由。
（4）点N在X轴上，在抛物线上是否存在点M，使得以A、C、Q、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的M、N的坐标：若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）
解：将点A、B、C各代入y=ax²+bx+c,得
{0=(-1)²a+(-1)b+c;
{0=2²a+2b+c;
{-2=c
解这个方程组，得
{a=1
{b=-1
{c=-2
所以该抛物线解析式为 y=x²-x-2
由二次函数顶点式可得
点M（-b/2a,(4ac-b²/4a)
解得：点M（0.5,-4.5）

（2）条件不完备……没说点Q是什么

（3）
①∠ACP为直角
∴AC^2+PC^2=AP^2
因为A（-1,0），C（0，-2）
∴AC^2=5
同理，设点P（x,y）
∴PC^2=x^2+(y+2)^2=x^2+(y^2+4+4y)
同理
AP^2=(x+1)^2+y^2=x^2+1+2x+y^2
∵AC^2+PC^2=AP^2
∴5+ x^2+y^2+4+4y= x^2+1+2x+y^2
化简，得4y+8=2x
又因为点P在抛物线y=x²-x-2上，
∴可列方程组
{4y+8=2x
{ y=x²-x-2
解得{x=0,y=-2,或{x=2/3, y=-5/4
∵对称轴为直线x=-b/2a,即直线x=0.5
∴点（0,-2）在对称轴左边，不符合题意
∴点P（2/3，-5/4），符合题意

②∠PAC为直角
∴PA^2+AC^2=PC^2
∴(x^2+1+2x+y^2)+5= x^2+y^2+4+4y
化简，得 2x=3+4y
又因为点P在抛物线y=x²-x-2上，
∴可列方程组
{2x+2=4y
{ y=x²-x-2
解得{x=-1,y=0,或{x=5/2, y=7/4
∴点（-1,0）在对称轴左边，不符合题意
∴点P（5/2,7/4），符合题意

③∠APC为直角
∴PA^2+PC^2=AC^2
∴（x^2+1+2x+y^2）+ (x^2+y^2+4+4y)=5
化简，得
2x^2+2x+4y+2y^2=0
又因为点P在抛物线y=x²-x-2上，
∴可列方程组
{2x^2+2x+4y+2y^2=0
{ y=x²-x-2
实数范围内的解为
{x=-1,y=0 或{x=0, y=-2
两点均在对称轴轴左边，不符合题意

∴答点P（2/3，-5/4）和（5/2,7/4）

（4）Q点没有描述，无法解答

(以上纯手打，只是提供一种思路，谢谢。）
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