Question

已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a＞b

已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a＞b＞0) 的焦点与顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为 ．

Answer 1

∵双曲线的顶点与焦点分别是椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a＞b＞0) 的焦点与顶点， ∴双曲线的顶点是（± a 2 - b 2 ，0），焦点是（±a，0）， 设双曲线方程为 x 2 m 2 - y 2 n 2 =1 （m＞0，n＞0）， ∴双曲线的渐近线方程为y=± n m x， ∵m= a 2 - b 2 ，n 2 =a 2 -m 2 =b 2 ， ∴n=b， ∵双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形， ∴双曲线的渐近线方程为y=±x， ∴m=n， ∴a 2 -b 2 =b 2 ， ∴c 2 =a 2 -c 2 ， ∴a 2 =2c 2 ， ∴a= 2 c ∴e= c a = 2 2 ． 故答案为： 2 2 ．