Question

如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1=BC．（1）求证：平面DA1C1∥平面B1AC；（2）求证：B1C⊥BD1

如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1=BC．（1）求证：平面DA1C1∥平面B1AC；（2）求证：B1C⊥BD1．

Answer 1

解答：证明：（1）∵四边形A₁B₁CD为平行四边形，∴DA₁∥CB₁…（1分）
∵CB₁?平面B₁AC，DA₁?平面B₁AC，∴DA₁∥平面B₁AC…（2分）
∵四边形A₁C₁CA为平行四边形，∴A₁C₁∥CA…（3分）
∵CA?平面B₁AC，A₁C₁?平面B₁AC∴A₁C₁∥平面B₁AC…（4分）
∵DA₁，A₁C₁是平面DA₁C₁内的两条相交直线 …（5分）
∴平面DA₁C₁∥平面B₁AC…（6分）
（2）连接BC₁，∵BB₁=BC，∴在正方形BCC₁B₁中，B₁C⊥BC₁…（7分）
∵D₁C₁⊥平面BCC₁B₁∴B₁C⊥D₁C₁…（9分）
∵BC₁，D₁C₁是平面BC₁D₁内的两条相交直线
∴B₁C⊥平面BC₁D₁…（11分）
∵BD₁?平面BC₁D₁
∴B₁C⊥BD₁…（12分）