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(2014?闵行区三模)已知:如图,在△ABC中,AC=15,BC=18,sinC=45,D为边AC上的动点(不与A、C重合),
(2014?闵行区三模)已知:如图,在△ABC中,AC=15,BC=18,sinC=45,D为边AC上的动点(不与A、C重合),过D作DE∥BC,交边AB于点E,过D作D...
(2014?闵行区三模)已知:如图,在△ABC中,AC=15,BC=18,sinC=45,D为边AC上的动点(不与A、C重合),过D作DE∥BC,交边AB于点E,过D作DF⊥BC,垂足为F,联结BD,设CD=x.(1)如果梯形EBFD的面积为S,求S关于x的函数解析式,并写出这个函数的定义域;(2)如果△BDF的面积为S1,△BDE的面积为S2,那么当x为何值时,S1=2S2;(3)如果以D为圆心,DC为半径的⊙D与以E为圆心,AE为半径的⊙E相切,求线段DC的长.
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(1)在Rt△CDF中,
∵sinC=
,CD=x,
∴DF=CD?sinC=
x,CF=
=
x.
∴BF=18?
x.
∵DE∥BC,
∴
=
.
∴ED=
=
=18?
x.
∴S=
?DF?(ED+BF)=
?
x?(18?
x+18?
x)=?
x2+
x,0<x<15.
(2)如图1,过点B作BG⊥DE的延长线与D,则BG为△DBE的高,
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∵DE∥BC,
∴BG=FE,
∴△DBF与△DBE等高,
∴S1:S2=BF:ED,
∵S1=2S2,
∴BF=2ED,
∴18?
x=2?(18?
x),
解得,x=10,即当x=10时,S1=2S2.
(3)如图2,过A作AH⊥BC,垂足为H.
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在Rt△AHC中,
∵AC=15,sinC=
,
∴CH=9.
∵BC=18,
∴BH=BC-CH=18-9=9=CH,
∴AB=AC=15.
∵DE∥BC,
∴
=
,
∴AE=AD=15-x.
由题意,R⊙D=DC=x,R⊙E=AE=15-x,DE=
(15?x).
①当⊙D与⊙E外切时,
∵DE=R⊙D+R⊙E,
∴
(15?x)=x+15?x
解得,x=
.
②当⊙D与⊙E内切时,
∵DE=|R⊙D-R⊙E|,
∴
(15?x)=|x?15+x|
解得,x1=
,x2=?
(负值舍去).
综上所述,两圆相切时,线段DC的长为
或
.
∵sinC=
4 |
5 |
∴DF=CD?sinC=
4 |
5 |
CD2?DF2 |
3 |
5 |
∴BF=18?
3 |
5 |
∵DE∥BC,
∴
ED |
BC |
AD |
AC |
∴ED=
BC?AD |
AC |
18?(15?x) |
15 |
6 |
5 |
∴S=
1 |
2 |
1 |
2 |
4 |
5 |
6 |
5 |
3 |
5 |
18 |
25 |
72 |
5 |
(2)如图1,过点B作BG⊥DE的延长线与D,则BG为△DBE的高,
∵DE∥BC,
∴BG=FE,
∴△DBF与△DBE等高,
∴S1:S2=BF:ED,
∵S1=2S2,
∴BF=2ED,
∴18?
3 |
5 |
6 |
5 |
解得,x=10,即当x=10时,S1=2S2.
(3)如图2,过A作AH⊥BC,垂足为H.
在Rt△AHC中,
∵AC=15,sinC=
4 |
5 |
∴CH=9.
∵BC=18,
∴BH=BC-CH=18-9=9=CH,
∴AB=AC=15.
∵DE∥BC,
∴
AE |
AB |
AD |
AC |
∴AE=AD=15-x.
由题意,R⊙D=DC=x,R⊙E=AE=15-x,DE=
6 |
5 |
①当⊙D与⊙E外切时,
∵DE=R⊙D+R⊙E,
∴
6 |
5 |
解得,x=
5 |
2 |
②当⊙D与⊙E内切时,
∵DE=|R⊙D-R⊙E|,
∴
6 |
5 |
解得,x1=
165 |
16 |
15 |
4 |
综上所述,两圆相切时,线段DC的长为
5 |
2 |
165 |
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