Question

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为边长为4的正方形，PA⊥平面ABCD，E为PB中点，PB＝42（Ⅰ）求证：PD∥面ACE

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为边长为4的正方形，PA⊥平面ABCD，E为PB中点，PB＝42（Ⅰ）求证：PD∥面ACE；（Ⅱ）求三棱锥D-AEC的体积．

Answer 1

（I）证明：连接BD，交AC于F，连接EF．
∵四边形ABCD为正方形   
∴F为BD的中点
∵E为PB的中点，
∴EF∥PD
又∵PD?面 ACE，EF?面ACE，
∴PD∥平面ACE．
（Ⅱ）取AB中点为G，连接EG
∵E为PB的中点，
∴EG∥PA
∵PA⊥平面ABCD，
∴EG⊥平面ABCD，
即EG是三棱锥E-ADC的高，
在Rt△PAB中，PB=4

2

，AB=4，则PA=4，EG=2，
∴三棱锥D-AEC的体积为

1

3

×

1

2

×4×4×2＝

16

3

．