Question

定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（x+5）=16，当x∈（-1，4]时，f（x）=x 2 -2 x ，则函数f（x）在[0，

定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（x+5）=16，当x∈（-1，4]时，f（x）=x 2 -2 x ，则函数f（x）在[0，2013]上的零点个数是______．

Answer 1

y=x 2 与 y=2 x 的函数曲线在区间（0，4]有两个交点，在区间（-1，0]区间有一个交点， 但当x∈（-1，4]时，f（x）=x 2 -2 x =16无根 即当x∈（-1，4]时，f（x）=x 2 -2 x 有3个零点 由f（x）+f（x+5）=16， 即当x∈（-6，-1]时，f（x）=x 2 -2 x 无零点 又∵f（x+5）+f（x+10）=f（x）+f（x+5）=16， ∴f（x+10）=f（x），即f（x）是周期为10的周期函数， 在x∈[0，2013]，分为三段x∈[0，4]，x∈（4，2009]，x∈（2009，2013] 在x∈[0，4]函数有两个零点， 在x∈（4，2004]有200个完整周期，即有600个零点， 在x∈（2004，2013]共有两个零点， 综上函数f（x）在[0，2013]上的零点个数是604 故答案为：604