Question

如果△ABC不是直角三角形，且A、B、C是△ABC的三个内角：（1）求证：tanA+tanB+tanC=tanA?tanB?tanC（2）

如果△ABC不是直角三角形，且A、B、C是△ABC的三个内角：（1）求证：tanA+tanB+tanC=tanA?tanB?tanC（2）如果sinA= 4 5 ，cosB= 12 13 ，求cosC．

Answer 1

（1）证明：由题意知： A≠ π 2 ， B≠ π 2 ， C≠ π 2 ，且A+B+C=π ∴tan（A+B）=tan（π-C）=-tanC…．…（1分） 又∵tan（A+B）= tanA+tanB 1-tanAtanB …．…（2分） ∴tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB）=-tanC（1-tanAtanB）=-tanC+tanAtanBtanC…．…（4分） 即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC…．…（5分） （2）由 cosB= 12 13 ＞0 知道： B∈(0， π 2 ) ， ∵sin 2 B+cos 2 B=1，∴sinB= 5 13 …．…（6分） 而sinA＞sinB，∴A＞B ①当A∈（0， π 2 ）时，cosA= 3 5 …（7分） ∴cosC=-cos（A+B）=sinAsinB-cosAcosB= 4 5 × 5 13 - 3 5 × 2 13 =- 16 65 …．…（9分） ②当A∈（ π 2 ，π）时，cosA=- 3 5 …．…（10分） ∴cosC=-cos（A+B）=sinAsinB-cosAcosB= 4 5 × 5 13 -(- 3 5 )× 2 13 = 56 65 …（12分）