Question

在△ABC中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA=（2b﹣c）sinB+（2c﹣b）sinC． （1）求角A的大小

在△ABC中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA=（2b﹣c）sinB+（2c﹣b）sinC． （1）求角A的大小； （2）若sinB+sinC= ，试判断△ABC的形状．

Answer 1

解：（1）由2asinA=（2b﹣c）sinB+（2c﹣b）sinC， 利用正弦定理化简得：2a 2 =（2b﹣c）b+（2c﹣b）c， 整理得：bc=b 2 +c 2 ﹣a 2 ， ∴cosA= = ， 又A为三角形的内角， 则A=60°； （2）∵A+B+C=180°，A=60°， ∴B+C=180°﹣60°=120°，即C=120°﹣B， 代入sinB+sinC= 得：sinB+sin（120°﹣B）= ， ∴sinB+sin120°cosB﹣cos120°sinB= ， ∴ sinB+ cosB= ，即sin（B+30°）=1， ∴0＜B＜120°， ∴30°＜B+30°＜150°， ∴B+30°=90°，即B=60°， ∴A=B=C=60°， 则△ABC为等边三角形．