Question

设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=1，0＜x＜1，0＜y＜2x0，其它，求Z=2X-Y的概率密度

设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=1，0＜x＜1，0＜y＜2x0，其它，求Z=2X-Y的概率密度．

Answer 1

Z=2X-Y的分布函数为：
F_Z（z）=P{Z≤z}，
当z≤0时，F_Z（z）=0，
当0＜z＜1时，
z=2x-y与x轴的交点为：(

z

2

，0)，与x=1的交点为（1，2-z），
F_Z（z）=1-

1

2

×(1?

z

2

)×(2?z)=1-(1?

z

2

)2，
当z≥1时，F_Z（z）=1，
故F_Z（z）=

0，  z≤0 1?(1? z 2 )2，  0＜z＜1 1，  z≥1

．
求导可得，Z=2X-Y的密度函数为：
f_Z（z）=F_Z（z）=

2(1? z 2 )，  0＜z＜1 0，  其他

．

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示