Question

如图①，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=4，OC=2．点P从点O出发

如图①，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=4，OC=2．点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长度的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，点D随点P的运动而运动，连接DP、DA．（Ⅰ）填空：CP与PD的数量关系是______，CP与PD的位置关系是______；（Ⅱ）用含t的代数式表示点D的坐标；（Ⅲ）在点P从O向A运动的过程中，△DPA能否成为直角三角形？若能，求出t的值，若不能，请说明理由；（Ⅳ）直接写出随着点P的运动，点D运动路线的长．

Answer 1

（1）CP与PD的数量关系是CP=2PD，CP与PD的位置关系是CP⊥PD．
故答案为：CP=2PD，CP⊥PD；

（2）∵点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，
∴OP=t，而OC=2，
∴P（t，0），
设CP的中点为F，
则F点的坐标为（

t

2

，1），
∴将线段CP的中点F绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，其坐标为（t+1，

t

2

）；
∵D点坐标为（t+1，

t

2

，），OA=4，
∴S_△DPA=

1

2

AP×

t

2

=

1

2

（4-t）×

t

2

=

1

4

（4t-t²），
∴当t=2时，S_最大=1；

（3）能够成直角三角形．
①当∠PDA=90°时，PC∥AD，

由勾股定理得，PD²+AD²=AP²，
即（

t

2

）²+1+（4-t-1）²+（

t

2

）²=（4-t）²，
解得，t=2或t=-6（舍去）．
∴t=2秒．
②当∠PAD=90°时，此时点D在AB上，

可知，△COP∽△PAD，
∴

CP

PD

=

CO

PA

，
∴

2

1

=

2

PA

，
PA=1，
即t+1=4，t=3秒．
综上，可知当t为2秒或3秒时，△DPA能成为直角三角形．

（4）∵根据点D的运动路线与OB平行且相等，OB=2

5

，
∴点D运动路线的长为2

5

．