已知函数f(x)=ex-x(e为自然对数的底数)(Ⅰ)求f(x)的最小值;(Ⅱ)若对于任意的x∈[0,2],不等
已知函数f(x)=ex-x(e为自然对数的底数)(Ⅰ)求f(x)的最小值;(Ⅱ)若对于任意的x∈[0,2],不等式f(x)>ax恒成立,求实数a的取值范围....
已知函数f(x)=ex-x(e为自然对数的底数)(Ⅰ)求f(x)的最小值;(Ⅱ)若对于任意的x∈[0,2],不等式f(x)>ax恒成立,求实数a的取值范围.
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(Ⅰ)∵f(x)=ex-x,∴f′(x)=ex-1,
令f′(x)>0,解得x>0,令f′(x)<0,得x<0,
∴f(x)在(-∞,0)内单调递减,在(0,+∞)单调递增,
∴当x=0时,f(x)取得极小值1.
(Ⅱ)∵不等式f(x)>ax的解集为P,且{x|0≤x≤2}?P,
∴c对于任意x∈[0,2],不等式f(x)>ax恒成立,
由f(x)>ax,得(a+1)x<ex,
当x=0时,上述不等式显然成立,故只需考虑x∈(0,2]的情况,
将(a+1)x<ex变形为a<
-1,令g(x)=
-1,
则g(x)的导数g′(x)=
,
令g′(x)>0,解得x>1;令g′(x)<0,解得0<x<1,
∴g(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增,
∴当x=1时,g(x)取得最小值e-1,
从而实数a的取值范围是(-∞,e-1).
令f′(x)>0,解得x>0,令f′(x)<0,得x<0,
∴f(x)在(-∞,0)内单调递减,在(0,+∞)单调递增,
∴当x=0时,f(x)取得极小值1.
(Ⅱ)∵不等式f(x)>ax的解集为P,且{x|0≤x≤2}?P,
∴c对于任意x∈[0,2],不等式f(x)>ax恒成立,
由f(x)>ax,得(a+1)x<ex,
当x=0时,上述不等式显然成立,故只需考虑x∈(0,2]的情况,
将(a+1)x<ex变形为a<
ex |
x |
ex |
x |
则g(x)的导数g′(x)=
(x-1)ex |
x2 |
令g′(x)>0,解得x>1;令g′(x)<0,解得0<x<1,
∴g(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增,
∴当x=1时,g(x)取得最小值e-1,
从而实数a的取值范围是(-∞,e-1).
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