Question

已知函数f（x）=ex-x（e为自然对数的底数）（Ⅰ）求f（x）的最小值；（Ⅱ）若对于任意的x∈[0，2]，不等

已知函数f（x）=ex-x（e为自然对数的底数）（Ⅰ）求f（x）的最小值；（Ⅱ）若对于任意的x∈[0，2]，不等式f（x）＞ax恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=e^x-x，∴f′（x）=e^x-1，
令f′（x）＞0，解得x＞0，令f′（x）＜0，得x＜0，
∴f（x）在（-∞，0）内单调递减，在（0，+∞）单调递增，
∴当x=0时，f（x）取得极小值1．
（Ⅱ）∵不等式f（x）＞ax的解集为P，且{x|0≤x≤2}?P，
∴c对于任意x∈[0，2]，不等式f（x）＞ax恒成立，
由f（x）＞ax，得（a+1）x＜e^x，
当x=0时，上述不等式显然成立，故只需考虑x∈（0，2]的情况，
将（a+1）x＜e^x变形为a＜

ex

x

-1，令g（x）=

ex

x

-1，
则g（x）的导数g′(x)=

(x-1)ex

x2

，
令g′（x）＞0，解得x＞1；令g′（x）＜0，解得0＜x＜1，
∴g（x）在（0，1）内单调递减，在（1，+∞）内单调递增，
∴当x=1时，g（x）取得最小值e-1，
从而实数a的取值范围是（-∞，e-1）．