Question

设f（x）连续，且∫x0tf（2x-t）dt=arctanx3，f（1）=1，求∫21f（x）dx

设f（x）连续，且∫x0tf（2x-t）dt=arctanx3，f（1）=1，求∫21f（x）dx．

Answer 1

令2x-t=u，
则原式变为：

∫

2x x

(2x?u)f(u)du＝arctanx3，
即：2x

∫

2x x

f(u)du-

∫

2x x

uf(u)du=arctanx³，
对x求导可得：2

∫

2x x

f(u)du+2x(2f(2x)?f(x))?2xf(2x)×2+xf(x)＝

3x2

1+x6

，
即：2

∫

2x x

f(u)du?xf(x)＝

3x2

1+x6

，
令x=1代入可得：
2

∫

2 1

f(u)du?f(1)＝

3

2

?

∫

2 1

f(x)dx＝

5

4

．