设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n?1．数列{bn}满足b1=2，bn+1-2bn=8an．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n?1．数列{bn}满足b1=2，bn+1-2bn=8an．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）证明：数列{bn2n}为等差数...
设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n?1．数列{bn}满足b1=2，bn+1-2bn=8an．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）证明：数列{bn2n}为等差数列，并求{bn}的通项公式；（Ⅲ）设数列{bn}的前n项和为Tn，是否存在常数λ，使得不等式(?1)nλ＜1+Tn?6Tn+1?6（n∈N*）恒成立？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由．
展开
展开全部
（Ⅰ）解：当n=1时 a1＝S1＝21?1＝1；
当n≥2时 an＝Sn?Sn?1＝(2n?1)?(2n?1?1)＝2n?1，
因为a1=1适合通项公式an＝2n?1．
所以 an＝2n?1（n∈N*）． …（5分）
（Ⅱ）证明：因为 bn+1-2bn=8an，所以 bn+1?2bn＝2n+2，即
?
＝2．
所以{
}是首项为
=1，公差为2的等差数列．
所以
＝1+2(n?1)＝2n?1，
所以bn＝(2n?1)?2n． …（9分）
（Ⅲ）解：存在常数λ使得不等式(?1)nλ＜1+
（n∈N*）恒成立．
因为Tn＝1?21+3?22+5?23+…+(2n?3)?2n?1+(2n?1)?2n①
所以2Tn=1?22+3?23+…+（2n-5）?2n-1+（2n-3）?2n+（2n-1）?2n+1②
由①-②得?Tn＝2+23+24+…+2n+1?(2n?1)?2n+1，
化简得Tn＝(2n?3)?2n+1+6．
因为
当n≥2时 an＝Sn?Sn?1＝(2n?1)?(2n?1?1)＝2n?1，
因为a1=1适合通项公式an＝2n?1．
所以 an＝2n?1（n∈N*）． …（5分）
（Ⅱ）证明：因为 bn+1-2bn=8an，所以 bn+1?2bn＝2n+2，即
| bn+1 |
| 2n+1 |
| bn |
| 2n |
所以{
| bn |
| 2n |
| b1 |
| 21 |
所以
| bn |
| 2n |
所以bn＝(2n?1)?2n． …（9分）
（Ⅲ）解：存在常数λ使得不等式(?1)nλ＜1+
| Tn?6 |
| Tn+1?6 |
因为Tn＝1?21+3?22+5?23+…+(2n?3)?2n?1+(2n?1)?2n①
所以2Tn=1?22+3?23+…+（2n-5）?2n-1+（2n-3）?2n+（2n-1）?2n+1②
由①-②得?Tn＝2+23+24+…+2n+1?(2n?1)?2n+1，
化简得Tn＝(2n?3)?2n+1+6．
因为
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是？
推荐律师服务：
若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询
为你推荐：下载百度知道APP，抢鲜体验
使用百度知道APP，立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。
扫描二维码下载
×
类别
我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。 说明 0/200 提交
取消
|
