Question

如图，已知点A（0，2）、B（23，2）、C（0，4），过点C向右作平行于x轴的射线，点P是射线上的动点，连接A

如图，已知点A（0，2）、B（23，2）、C（0，4），过点C向右作平行于x轴的射线，点P是射线上的动点，连接AP，以AP为边在其左侧作等边△APQ，连接PB、BA．若四边形ABPQ为梯形，则：（1）当AB为梯形的底时，点P的横坐标是______；（2）当AB为梯形的腰时，点P的横坐标是______．

Answer 1

（1）如图1：当AB为梯形的底时，PQ∥AB，
∴Q在CP上，
∵△APQ是等边三角形，CP∥x轴，
∴AC垂直平分PQ，
∵A（0，2），C（0，4），
∴AC=2，
∴PC=AC?tan30°=2×

3

3

=

2 3

3

，
∴当AB为梯形的底时，点P的横坐标是：

2 3

3

；

（2）如图2，当AB为梯形的腰时，AQ∥BP，
∴Q在y轴上，
∴BP∥y轴，
∵CP∥x轴，
∴四边形ABPC是平行四边形，
∴CP=AB=2

3

，
如图3，当C与P重合时，
∵A（0，2）、B（2

3

，2），
∴tan∠APB=

2 3

2

=

3

，
∴∠APB=60°，
∵△APQ是等边三角形，
∴∠PAQ=60°，
∴∠ACB=∠PAQ，
∴AQ∥BP，
∴当C与P重合时，四边形ABPQ以AB为腰的梯形，
此时点P的横坐标为0；
∴当AB为梯形的腰时，点P的横坐标