Question

数列{an}的前项和为Sn，已知a1=1，an+1=n+2nSn(n=1，2，3，…)（1）证明：{Snn}是等比数列；（2）求数列{

数列{an}的前项和为Sn，已知a1=1，an+1=n+2nSn(n=1，2，3，…)（1）证明：{Snn}是等比数列；（2）求数列{Sn}的前n项和Tn．

Answer 1

解答：（1）证明：∵a_n+1=

n+2

n

S_n，a_n+1=S_n+1-S_n，
∴S_n+1-S_n=

n+2

n

Sn，
∴nS_n+1=（2n+2）S_n，
∴

Sn+1

n+1

：

Sn

n

=2，
∴{

sn

n

}是等比数列．
（2）解：∵a₁=1，

Sn+1

n+1

：

Sn

n

=2，
∴

S1

1

=1，
∴

Sn

n

=2^n-1，
∴S_n=n?2^n-1，
∴T_n=1?2⁰+2?2+3?2²+…+n?2^n-1，①
2T_n=1?2+2?2²+3?2³+…+n?2ⁿ，②
①-②，得：
-T_n=1+2+2²+2³+…+2^n-1-n?2ⁿ
=

1-2n

1-2

-n?2ⁿ
=2ⁿ-1-n?2n ．
∴Tn=n?2n-2n+1．