Question

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数且f（1）=1，若a、b∈[-1，1]，a+b≠0，有f(a)+f(b)a+b＞0成立．（1

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数且f（1）=1，若a、b∈[-1，1]，a+b≠0，有f(a)+f(b)a+b＞0成立．（1）判断函数f（x）在[-1，1]上是增函数还是减函数，并加以证明．（2）解不等式f（x+12）＞f（2x-12）．（3）若f（x）≤m2-2am+1对所有x∈[-1，1]、a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）设a、b∈[-1，1]，且a＜b，
则a-b＜0，

f(a)+f(?b)

a?b

＞0
∴f（a）-f（b）=f（a）+f（-b）=

f(a)+f(?b)

a?b

（a-b）＜0，
可知f（a）＜f（b），
所以f（x）在[-1，1]上是增函数．…（4分）
（2）由f（x）在[-1，1]上是增函数知：
不等式f（x+

1

2

）＞f（2x-

1

2

）可化为：-1≤2x-

1

2

＜x+

1

2

≤1
解得-

1

4

≤x≤

1

2

，
故不等式的解集为[-

1

4

，

1

2

]…（8分）
（3）因为f（x）在[-1，1]上是增函数，
所以f（x）≤f（1）=1，即1是f（x）的最大值．
若f（x）≤m²-2am+1对所有x∈[-1，1]、a∈[-1，1]恒成立，
则有m²-2am+1≥1，对a∈[-1，1]恒成立，
即m²-2am≥0恒成立．
令g（a）=-2ma+m²，它的图象是一条线段，
那么

g(?1)＝m2+2m≥0 g(1)＝m2?2m≥0

，
解得：m∈（-∞，-2]∪{0}∪[2，+∞）．…（12分）