设定义域为(0,+∞)的单调函数f(x),对任意的x∈(0,+∞),都有f[f(x)-log2x]=6,若x0是方程f(x
设定义域为(0,+∞)的单调函数f(x),对任意的x∈(0,+∞),都有f[f(x)-log2x]=6,若x0是方程f(x)-f′(x)=4的一个解,且x0∈(a,a+1...
设定义域为(0,+∞)的单调函数f(x),对任意的x∈(0,+∞),都有f[f(x)-log2x]=6,若x0是方程f(x)-f′(x)=4的一个解,且x0∈(a,a+1)(a∈N*),则实数a=______.
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根据题意,对任意的x∈(0,+∞),都有f[f(x)-log2x]=6,
又由f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,
则f(x)-log2x为定值,
设t=f(x)-log2x,则f(x)=t+log2x,
又由f(t)=6,可得t+log2t=6,
可解得t=4,故f(x)=4+log2x,f′(x)=
,
又x0是方程f(x)-f′(x)=4的一个解,
所以x0是函数F(x)=f(x)-f′(x)-4=log2x-
的零点,
分析易得F(1)=-
<0,F(2)=1-
=1-
>0,
故函数F(x)的零点介于(1,2)之间,故a=1,
故答案为:1
又由f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,
则f(x)-log2x为定值,
设t=f(x)-log2x,则f(x)=t+log2x,
又由f(t)=6,可得t+log2t=6,
可解得t=4,故f(x)=4+log2x,f′(x)=
1 |
xln2 |
又x0是方程f(x)-f′(x)=4的一个解,
所以x0是函数F(x)=f(x)-f′(x)-4=log2x-
1 |
xln2 |
分析易得F(1)=-
1 |
ln2 |
1 |
2ln2 |
1 |
ln4 |
故函数F(x)的零点介于(1,2)之间,故a=1,
故答案为:1
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