Question

已知a＞0且a≠1，函数f（x）=log a （x+1）， g(x)=lo g a 1 1-x ，记F（x）=2f（x）+g（x

已知a＞0且a≠1，函数f（x）=log a （x+1）， g(x)=lo g a 1 1-x ，记F（x）=2f（x）+g（x）（1）求函数F（x）的定义域D及其零点；（2）若关于x的方程F（x）-m=0在区间[0，1）内有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）F（x）=2f（x）+g（x）= 2lo g a (x+1)+lo g a 1 1-x （a＞0且a≠1） 由 x+1＞0 1-x＞0 ，可解得-1＜x＜1， 所以函数F（x）的定义域为（-1，1） 令F（x）=0，则 2lo g a (x+1)+lo g a 1 1-x =0 …（*）   方程变为 lo g a (x+1 ) 2 =lo g a (1-x) ，即（x+1） 2 =1-x，即x 2 +3x=0 解得x 1 =0，x 2 =-3，经检验x=-3是（*）的增根，所以方程（*）的解为x=0 即函数F（x）的零点为0． （2）方程可化为 m=2lo g a (x+1)+lo g a 1 1-x = lo g a x 2 +2x+1 1-x =lo g a (1-x+ 4 1-x -4) ， 故 a m =1-x+ 4 1-x -4 ，设1-x=t∈（0，1] 函数 y=t+ 4 t 在区间（0，1]上是减函数 当t=1时，此时x=0，y min =5，所以a m ≥1 ①若a＞1，由a m ≥1可解得m≥0， ②若0＜a＜1，由a m ≥1可解得m≤0， 故当a＞1时，实数m的取值范围为：m≥0， 当0＜a＜1时，实数m的取值范围为：m≤0