Question

已知抛物线y=-x 2 +mx-m+2．（Ⅰ）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB= 5

已知抛物线y=-x 2 +mx-m+2．（Ⅰ）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB= 5 ，试求m的值；（Ⅱ）设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且△MNC的面积等于27，试求m的值．

Answer 1

（1）设点A（x 1 ，0），B（x 2 ，0），则x 1 ，x 2 是方程-x 2 +mx-m+2=0的两根． ∵x 1 +x 2 =m，x 1 ?x 2 =m-2＜0即m＜2， 又∵AB=|x 1 -x 2 |= ( x 1 + x 2 ) 2 -4 x 1 x 2 = 5 ， ∴m 2 -4m+3=0． 解得：m=1或m=3（舍去）， 故m的值为1． （2）设M（a，b），则N（-a，-b）． ∵M、N是抛物线上的两点， ∴ - a 2 +ma-m+2=b…① - a 2 -ma-m+2=-b…② ①+②得：-2a 2 -2m+4=0， ∴a 2 =-m+2， ∴当m＜2时，才存在满足条件中的两点M、N， ∴ a=± 2-m ． 这时M、N到y轴的距离均为 2-m ， 又∵点C坐标为（0，2-m），而S △MNC =27， ∴2× 1 2 ×（2-m）× 2-m =27， 解得m=-7．