Question

已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a，b，c，满足a+c=2b，且2cos2B=8cosB-5，（1）求角B的大小；（2

已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a，b，c，满足a+c=2b，且2cos2B=8cosB-5，（1）求角B的大小；（2）若a=2，求△ABC的面积．

Answer 1

（1）∵2cos2B=8cosB-5， ∴2（2cos 2 B-1）-8cosB+5=0． ∴4cos 2 B-8cosB+3=0，即（2cosB-1）（2cosB-3）=0． 解得cosB= 1 2 或cosB= 3 2 （舍去）． ∵0＜B＜π，∴B= π 3 ．…（6分） （2）法一：∵a+c=2b． ∴cosB= a 2 + c 2 - b 2 2ac = a 2 + c 2 - ( a+c) 2 4 2ac = 1 2 化简得a 2 +c 2 -2ac=0，解得a=c． ∴△ABC是边长为2的等边三角形． ∴△ABC的面积等于 3 …（12分） 法二：∵a+c=2b， ∴sinA+sinC=2sinB=2sin π 3 = 3 ． ∴sinA+sin（ 2π 3 -A）= 3 ， ∴sinA+sin 2π 3 cosA-cos 2π 3 sinA= 3 ． 化简得 3 2 sinA+ 3 2 cosA= 3 ，∴sin（A+ π 6 ）=1． ∵0＜A＜π，∴A+ π 6 = π 2 ． ∴A= π 3 ，C= π 3 ，又∵a=2 ∴△ABC是边长为2的等边三角形． ∴△ABC的面积等于 3 ．…（12分）