Question

一条宽度为L的河流，水流速度为V s ，已知船在静水中的速度为V c ，那么：（1）怎样渡河时间最短？（2）

一条宽度为L的河流，水流速度为V s ，已知船在静水中的速度为V c ，那么：（1）怎样渡河时间最短？（2）若V c >V s ，怎样渡河位移最小？（3）若V c <V s ，怎样渡河船漂下的距离最短？船渡河的最短位移是多少？

Answer 1

解：（1）如图甲所示 设船上头斜向上游与河岸成任意角θ，这时船速在垂直于河岸方向的速度分量V 1 =V c sinθ， 渡河所需时间为： 可以看出：L、V c 一定时，t随sinθ增大而减小； 当θ=90 0 时，sinθ=1，所以当船头与河岸垂直时，渡河时间最短， （2）如图乙所示， 渡河的最小位移即河的宽度。为了使渡河位移等于L，必须使船的合速度V的方向与河岸垂直。 这是船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ。根据三角函数关系有： V c cosθ─V s =0，所以θ=arccosV s /V c 因为0≤cosθ≤1， 所以只有在V c >V s 时，船才有可能垂直于河岸横渡。 （3）如果水流速度大于船上在静水中的航行速度，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游。 怎样才能使漂下的距离最短呢？如图丙所示， 设船头V c 与河岸上游成θ角，合速度V与河岸下游成α角。 可以看出：α角越大，船漂下的距离x越短，那么在什么条件下α角最大呢？ 以V s 的矢尖为圆心，以V c 为半径画圆，当V与圆相切时，α角最大， 根据cosθ=V c /V s ， 船头与河岸的夹角应为：θ=arccosVc/Vs。 此时渡河的最短位移为：