Question

已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c．下列结论：①?x0∈R，f（x0）=0；②函数y=f（x）的图象是中心对称图形；③

已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c．下列结论：①?x0∈R，f（x0）=0；②函数y=f（x）的图象是中心对称图形；③若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在（-∞，x0）单调递减；④若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）=0．其中正确的有______．

Answer 1

①∵f（x）=x³+ax²+bx+c，
∴f′（x）=3x²+2ax+b，即f（x）的导函数为开口向上的二次函数，
当△＜0时，f′（x）＞0恒成立，f（x）=x³+ax²+bx+c在R上单调递增，故必?x₀∈R，f（x₀）=0；
当△≥0时，f′（x）有时大于0，有时小于0，f（x）=x³+ax²+bx+c时增时减，故必?x₀∈R，f（x₀）=0；
综上分析，①正确；
②因为f（x）=（x-x₀）³+b（x-x₀）+y₀的对称中心是（x₀，y₀），
f（x）=x³+ax²+bx+c如果能写成f（x）=（x-x₀）³+b（x-x₀）+y₀的形式，那么三次函数的对称中心就是（x₀，f（x₀），
∴设f（x）=（x-x₀）³+p（x+m）+n，
得f（x）=ax³+3amx²+（3am²+p）x+am³+pm+n，
∴3am=b； 3am²+p=c； am³+pm+n=d；
∴m=

b

3a

； p=

3ac?b2

3a

； n=d+

2b3

27a2

-

bc

3a

，
∴f（x）=a(x+

b

3a

)3+（c-

b2

3a

）（x+

b

3a

）+d+

2b3

27a2

-

bc

3a

，
故函数y=f（x）的图象一定是中心对称图形，即②是正确的；
③若x₀是f（x）的极小值点，只能说明在x₀附近，左侧导数小于0，右侧导数大于0，不能说明f（x）在（-∞，x₀）单调递减，故③错误；
④对于f（x）=x³+ax²+bx+c，若x₀是f（x）的极值点，则f′（x₀）=0，正确．
故答案为：①②④．