Question

如图（1），E是正方形ABCD的边BC上的一个点（E与B、C两点不重合），过点E作射线EP⊥AE，在射线EP上截取线

如图（1），E是正方形ABCD的边BC上的一个点（E与B、C两点不重合），过点E作射线EP⊥AE，在射线EP上截取线段EF，使得EF=AE；过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G．（1）求证：FG=BE；（2）连接CF，如图（2），求证：CF平分∠DCG；（3）当BEBC=34时，求sin∠CFE的值．

Answer 1

（1）证明：∵EP⊥AE，
∴∠AEB+∠GEF=90°，
又∵∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠GEF=∠BAE，
又∵FG⊥BC，
∴∠ABE=∠EGF=90°，
在△ABE与△EGF中，

∠ABE＝∠EGF ∠BAE＝∠GEF AE＝EF

，
∴△ABE≌△EGF（AAS），
∴FG=BE；

（2）证明：由（1）知：BC=AB=EG，
∴BC-EC=EG-EC，
∴BE=CG，
又∵FG=BE，
∴FG=CG，
又∵∠CGF=90°，
∴∠FCG=45°=

1

2

∠DCG，
∴CF平分∠DCG；

（3）解：如图，作CH⊥EF于H，
∵∠HEC=∠GEF，∠CHE=∠FGE=90°，
∴△EHC∽△EGF，
∴

HC

GF

=

EC

EF

，
根据

BE

BC

=

3

4

，设BE=3a，则EC=a，EG=4a，FG=CG=3a，
∴EF=5a，CF=3

2

a，
∴

HC

3a

=

a

5a

，HC=

3

5

a，
∴sin∠CFE=

HC

CF

=

2

10

．