设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn=2an-2n+1 （n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=logann+
设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn=2an-2n+1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=logann+12，数列{bn}的前n项和为Bn，若...
设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn=2an-2n+1 （n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=logann+12，数列{bn}的前n项和为Bn，若存在整数m，使对任意n∈N*且n≥2，都有B3n-Bn＞m20成立，求m的最大值；（Ⅲ）令cn=（-1）n+1logann+12，数列{cn}的前n项和为Tn，求证：当n∈N*且n≥2时，T2n＜22．
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（Ⅰ）由Sn=2an-2n+1，得Sn-1=2an-1-2n（n≥2）．
两式相减，得an=2an-2an-1-2n，即an-2an-1=2n（n≥2）．
于是
-
=1，所以数列{
}是公差为1的等差数列．（2分）
又S1=a1=2a1-22，，所以a1=4．
所以
=2+（n-1）=n+1，故an=（n+1）?2n．（4分）
（注：该问也可用归纳，猜想，数学归纳法证明的方法）
（Ⅱ）因为bn=log
2=log2n2=
，则B3n-Bn=
+
+
+…+
．
令f（n）=
+
+…+
，
则f（n+1）=
+
+…+
+
+
+
．
所以f（n+1）-f（n）=
+
+
-
=
+
-
＞
+
-
=0．
即f（n+1）＞f（n），所以数列{f（n）}为递增数列．（7分）
所以当n≥2时，f（n）的最小值为f（2）=
+
+
+
=
．
据题意，
＜
，即m＜19．又m为整数，
故m的最大值为18．（8分）
（Ⅲ）证明：因为cn=（-1）n+1?
，则当n≥2时，
T2n=1-
+
-
+…+
-
=（1+
+
+
+…+
+
）-2（
+
+…+
）=
+
+…+
．（9分）
下面证
+
+…+
＜
．
先证一个不等式，当x＞0时，ln（x+1）＞
．
令g（x）=ln（x+1）-
（x＞0），则g′（x）=
-
=
＞0，
∴g（x）在（0，+∞）时单调递增，
则g（x）＞g（0）=0，即当x＞0时，ln（x+1）＞
，
令x=
，则ln
＞
?ln（n+1）-lnn＞
两式相减，得an=2an-2an-1-2n，即an-2an-1=2n（n≥2）．
于是
| an |
| 2n |
| an?1 |
| 2n?1 |
| an |
| 2n |
又S1=a1=2a1-22，，所以a1=4．
所以
| an |
| 2n |
（注：该问也可用归纳，猜想，数学归纳法证明的方法）
（Ⅱ）因为bn=log
| an |
| n+1 |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n+1 |
| 1 |
| n+2 |
| 1 |
| n+3 |
| 1 |
| 3n |
令f（n）=
| 1 |
| n+1 |
| 1 |
| n+2 |
| 1 |
| 3n |
则f（n+1）=
| 1 |
| n+1 |
| 1 |
| n+2 |
| 1 |
| 3n |
| 1 |
| 3n+1 |
| 1 |
| 3n+2 |
| 1 |
| 3n+3 |
所以f（n+1）-f（n）=
| 1 |
| 3n+1 |
| 1 |
| 3n+2 |
| 1 |
| 3n+3 |
| 1 |
| n+1 |
| 1 |
| 3n+1 |
| 1 |
| 3n+2 |
| 2 |
| 3n+3 |
| 1 |
| 3n+3 |
| 1 |
| 3n+3 |
| 2 |
| 3n+3 |
即f（n+1）＞f（n），所以数列{f（n）}为递增数列．（7分）
所以当n≥2时，f（n）的最小值为f（2）=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 6 |
| 19 |
| 20 |
据题意，
| m |
| 20 |
| 19 |
| 20 |
故m的最大值为18．（8分）
（Ⅲ）证明：因为cn=（-1）n+1?
| 1 |
| n |
T2n=1-
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2n?1 |
| 1 |
| 2n |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2n?1 |
| 1 |
| 2n |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2n |
| 1 |
| n+1 |
| 1 |
| n+2 |
| 1 |
| 2n |
下面证
| 1 |
| n+1 |
| 1 |
| n+2 |
| 1 |
| 2n |
| ||
| 2 |
先证一个不等式，当x＞0时，ln（x+1）＞
| x |
| x+1 |
令g（x）=ln（x+1）-
| x |
| x+1 |
| 1 |
| x+1 |
| 1 |
| (x+1)2 |
| x |
| (x+1)2 |
∴g（x）在（0，+∞）时单调递增，
则g（x）＞g（0）=0，即当x＞0时，ln（x+1）＞
| x |
| x+1 |
令x=
| 1 |
| n |
| n+1 |
| n |
| 1 |
| n+1 |
