Question

已知数列{an}是公差为2的等差数列，且a1+1，a3+1，a7+1成等比数列．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）令bn=

已知数列{an}是公差为2的等差数列，且a1+1，a3+1，a7+1成等比数列．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）令bn=1an2?1（n∈N*），求数列{bn}的前n项和为Tn．

Answer 1

（Ⅰ）数列{a_n}是公差为2的等差数列，a₁+1，a₃+1，a₇+1成等比数列，a₃=a₁+5，a₇=a₁+13
所以由(a3+1)2=（a₁+1）?（a₇+1）…（3分）
得(a1+5)2=（a₁+1）?（a₁+13）
解之得a₁=3，所以a_n=3+2（n-1），即a_n=2n+1…（6分）
（Ⅱ）由（1）得a_n=2n+1，
bn＝

1

an2?1

＝

1

(2n+1)2?1

＝

1

4

?

1

n(n+1)

＝

1

4

(

1

n

?

1

n+1

)…（9分）
Tn＝

1

4

(1?

1

2

+

1

2

?

1

3

+…+

1

n

?

1

n+1

)=

n

4(n+1)

…（12分）