Question

设向量BC×向量CA=向量CA×向量AB

求证，ABC为等腰三角形
设向量s=（2sinC,－√3）t=（cos2C,2cos²C/2－1）,s‖t,sinA=1/2求sin（3/π－B）的值

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Answer 1

1、
作bd⊥ac于d，
向量bc×向量ca=向量ca×向量ab
-|bc||ca|cosc=-|ca||ab|cosa
|bc|cosc=|ab|cosa
根据投影的定义可知：ad=cd
由此可知，ab=bc，等腰三角形
2、
|ba+bc|=2，所以，|bd|=1
ba×bc=|ab|^2cosb
而，|ab|cos(b/2)=bd=1
所以ba×bc=|ab|^2cosb
=cosb/cos^2(b/2)
=2+1/cos^2(b/2)
求值域，最后结果[10/3,6]

Answer 2

(1）解：取CA的中点M，连接BM， 则 向量BM=1/2(BC+BA)
向量BC*CA=CA*AB===>BC*CA-CA*AB=0===>CA*(BC-AB)=0===>CA*1/2(BC+BA)=0
即 CA*BM=0===>CA垂直BM. 所以BM垂直平分CA。===》三角形ABC为等腰三角形 。

（2）向量S//T===>－√3/(2sinC)=(2cos²C/2－1)/cos2C===>－√3/(2sinC)=cosC/cos2C
===>sinC=－√3cos2C===>sinC=2√3(sinC)^2-√3 ===>SINC=√3/2 或 sinC=-√3/3(舍去）
所以 sinC=√3/2 sinA=1/2===>A=30°===>B+C=150°
sin(π/3-B)=sin[60°-（150°-C)]=sin(C-90°）=-cosC=+-1/2.