Question

关于高中数列问题

1.有四个数,前三个数成等比数列,其和为19,后三个数成等差数列,其和为12,求此四个数.
2.已知数列｛an｝的前n项和Sn=2n-n²,an=log5 (bn),其中bn>0,求数列｛bn｝的前n项和.

Answer 1

设四个数为a1,a2,a3,a4
a1+a2+a3=19 a2+a3+a4=12
后三个数成等差数列, 所以a2+a3+a4=3a3=12
a3=4
假设公比为1/q
q^2a3+qa3+a3=19
q^2+q+1=19/4
q=-5/2或3/2
q=-5/2时，四个数为25，-10,4,18
q=3/2时，四个数为9,6,4,2
2.Sn=2n-n² a1=s1=2*1-1=1
an=sn-s(n-1)=2n-n^2-2(n-1)+(n-1)^2=3-2n
n=1时，a1=3-2*1=1
所以an=3-2n对n》0成立
bn=5^(3-2n)
bn为公比为1/25，首项为5的对比数列
sn=5（1-1/25^n)/(1-1/25)=125/24*(1-1/25^n)

Answer 2

设后三个数分别为a-d,a,a+d
(a-d)+a+(a+d)=12
解得 a=4
后三个数分别为4-d,4,4+d
前三个数成等比数列,公比是q=4/(4-d),第一个数是(4-d)^2/4
它们的和是19
则(4-d)^2/4+4-d+4=19
d^2-12d-28=0,-----d=-2,d=14
d=-2时,这四个数9,6,4,2
d=14时,这四个数25,-10,4,18

Answer 3

1.设四数为a,b,c,d. 后三个数成等差数列且和为12,(x-m)+x+(x+m)=12,所以，c=4. 前三个数成等比数列且和为19,(y/n)+y+yn=19,且yn=c=4,所以，ac=b^2,a+b=15,联合两式得：b^2+4b-60=0, 所以b=6或b=-10, b=6时，a=9,c=4,d=2; b=-10时，a=25,c=4,d=18

2.因为 Sn=2n-n^2
所以 S（n-1）=2(n-1)-(n-1)^2
两式相减 an=3-2n
所以 bn=5^(3-2n)=5* (1/25)^(n-1)
所以{bn}是首项为5，公比为1/25的等比数列
{bn}的前n项和=5*[1-（1/25）^n]/(1-1/25)=125*[1-（1/25）^n]/24