Question

如图，已知20×20的网络中每个小正方形的边长均为1个单位长度

如图，已知20×20的网络中每个小正方形的边长均为1个单位长度，等腰直角三角形ABC的腰长为4个单位长度，△ABC从点A与点M重合的位置开始，以每秒1个单位长度的速度先向下平移，当BC边与网络的底部重合时，继续以同样的速度向右平移，当点C与点P重合时，△ABC停止运动．设运动时间为x秒，△QAC的面积为．问：x当为何值时，y取得最大值和最小值?最大值和最小值各是多少

Answer 1

解：（1）如图1，△A2B2C2是△A1B1C1关于直线QN成轴对称的图形；（2分）
（2）当△ABC以每秒1个单位长的速度向下平移x秒时（如图2），
则有：MA=x，MB=x+4，MQ=20，
y=S梯形QMBC-S△AMQ-S△ABC
= （4+20）（x+4）- ×20x- ×4×4
=2x+40（0≤x≤16）．（6分）
由一次函数的性质可知：
当x=0时，y取得最小值，且y最小=40，
当x=16时，y取得最大值，且y最大=2×16+40=72；（8分）
（3）解法一：
当△ABC继续以每秒1个单位长的速度向右平移时，
此时16≤x≤32，PB=20-（x-16）=36-x，PC=PB-4=32-x，
∴y=S梯形BAQP-S△CPQ-S△ABC= （4+20）（36-x）- ×20×（32-x）- ×4×4
=-2x+104（16≤x≤32）．（10分）
由一次函数的性质可知：
当x=32时，y取得最小值，且y最小=-2×32+104=40；
当x=16时，y取得最大值，且y最大=-2×16+104=72．（12分）
解法二：
在△ABC自左向右平移的过程中，
△QAC在每一时刻的位置都对应着（2）中△QAC某一时刻的位置，
使得这样的两个三角形关于直线QN成轴对称．
因此，根据轴对称的性质，
只需考查△ABC在自上至下平移过程中△QAC面积的变化情况，
便可以知道△ABC在自左向右平移过程中△QAC面积的变化情况．（10分）（另加2分）
当x=16时，y取得最大值，且y最大=72，
当x=32时，y取得最小值，且y最小=40．（12分）（再加2分）
说明：（1）本题解法较多，对于其他正确解法，请参照评分标准按步骤给分；
（2）对于（3），如果学生按照解法一的方法求解，不加分．如果按照解法二利用图形变换的方法说明，可考虑加1～4分．