Question

如图，在△ABC中，∠B=60°，BA=24cm，BC=16cm．现有动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动；动点Q从点C出

如图，在△ABC中，∠B=60°，BA=24cm，BC=16cm．现有动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动；动点Q从点C出 发，沿线段CB向点B运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，运动时间为t秒，求：（1）当t为何值时，△PBQ的面积是△ABC的面积的一半；（2）在第（1）问的前提下，P，Q两点之间的距离是多少？

Answer 1

（1）分别过C，Q作CG⊥AB，QH⊥AB于G，H， ∵BC=16，∠B=60°， ∴CG=BC?sin60°= 8 3 ， 又∵AB=24， ∴S △ABC = 1 2 AB?CG=96 3 ， 又∵AP=4t，CQ=2t， ∴BP=24-4t，BQ=16-2t（0＜t＜8）， ∴QH=BQ?sin60°=（8-t） 3 ， ∴S △PBQ = 1 2 BP?QH= 1 2 ×（24-4t）×（8-t） 3 ， 又∵S △PBQ = 1 2 S △ABC ， ∴ 1 2 ×（24-4t）×（8-t） 3 = 1 2 ×96 3 ， ∴t 2 -14t+24=0， ∴t 1 =2，t 2 =12（舍去）， ∴当t为2秒时，△PBQ的面积是△ABC的面积的一半． （2）当t=2时，HQ=6 3 ，BQ=12，BP=16， ∴BH= 1 2 BQ=6，PH=16-6=10， 又∵在Rt△PQH中，PQ 2 =HQ 2 +PH 2 ， ∴PQ= (6 3 ) 2 + 10 2 =4 13 ．