Question

已知：如图1 ，平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是矩形，点A ，C 的坐标分别为（6 ，0 ），（0 ，2 ）

已知：如图1 ，平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是矩形，点A ，C 的坐标分别为（6 ，0 ），（0 ，2 ），点D 是线段BC 上的一个动点（点D 与点B ，C 不重合），过点D 作直线y=- +b 交折线O-A-B 于点E 。（1）在点D 运动的过程中，若△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）如图2 ，当点E 在线段OA 上时，矩形OABC 关于直线DE 对称的图形为矩形O ′A ′B ′C ′，C ′B ′分别交CB ，OA 于点D ，M ，O ′A ′分别交CB ，OA 点N ，E。求证：四边形DMEN 是菱形； （3）问题（2 ）中的四边形DMEN 中，ME 的长为_______。

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Answer 1

解：（1 ）∵矩形OABC 中，点A ，C 的坐标分别为（6 ，0），（0 ，2）， ∴点B 的坐标为（6 ，2 ） 若直线y= x+b 经过点C （0 ，2 ），则b=2 ； 若直线y= x+b 经过点A （6 ，0 ），则b=3 ； 若直线y= x+b 经过点B （6 ，2 ），则b=5 ． ①当点E 在线段OA 上时，即2 ＜b ≤3 时，（如图） ∵点E 在直线y= x+b 上， 当y=0 时，x=2b ， ∴点E 的坐标为（2b ，0） ∴S= ·2b·2=2b； ②当点E 在线段BA 上时，即3 ＜b ＜5 时，（如图） ∵点D ，E 在直线y= x+b 上 当y=2 时，x=2b-4 ； 当x=6 时，y=b-3 ， ∴点D 的坐标为（2b-4 ，2 ），点E 的坐标为（6 ，b-3 ） ∴S=S 矩形OABC -S △COD -S △OAE -S △DBE =-b 2 +5b 综上可得： （2 ）证明：如图 ∵四边形OABC 和四边形O ′A ′B ′C ′是矩形 ∴CB ∥OA ，C ′B ′∥O ′A ′， 即DN ∥ME ，DM ∥NE ∴四边形DMEN 是平行四边形，且∠NDE= ∠DEM ∵矩形OABC 关于直线DE 对称的图形为四边形O ′A ′B ′C ′ ∴∠DEM= ∠DEN ∴∠NDE= ∠DEN ∴ND=NE ∴四边形DMEN 是菱形． （3）解：y= x+b 当x=0时，y=b， 当y=0时，x=2b， ∴OQ=b，OE=2b 过DH⊥OE于H， ∴DH=2， ∵∠QOE=90°，DH⊥OA， ∴DH∥OQ， ∴△DHE∽△QOE， ∴ ， 即 ， ∴HE=2DH=4，设DM=ME=x， 在△DHM中， 由勾股定理得：2 2 +（4-x） 2 =x 2 ， 解得：x=2.5，故答案为：2.5。