Question

如图，已知在等腰△ABC中，∠A=∠B=30°，过点C作CD⊥AC交AB于点D（1）尺规作图：过A，D，C三点作⊙O（只

如图，已知在等腰△ABC中，∠A=∠B=30°，过点C作CD⊥AC交AB于点D（1）尺规作图：过A，D，C三点作⊙O（只要求作出图形， 保留痕迹，不要求写作法）；（2）求证：BC是过A，D，C三点的圆的切线；（3）若过A，D，C三点的圆的半径为 ，则线段BC上是否存在一点P，使得以P，D，B为顶点的三角形与△BCO相似，若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由.

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

Answer 1

解：（1）作出圆心O， 以点O为圆心，OA长为半径作圆 （2）证明：∵CD⊥AC，∴∠ACD=90° ∴AD是⊙O的直径 连结OC，∵∠A=∠B=30°， ∴∠ACB=120°， 又∵OA=OC， ∴∠ACO=∠A =30° ∴∠BCO=∠ACB-∠ACO =120°-30°=90° ∴BC⊥OC，∴BC是⊙O的切线. （3）存在.  ∵∠BCD=∠ACB-∠ACD=120°-90°=30°， ∴∠BCD=∠B， 即DB=DC 又∵在Rt△ACD中， DC=AD ， ∴BD= ①过点D作DP 1 // OC， 则△P 1 D B∽△COB， ， ∵BO=BD+OD= ， ∴P 1 D= ×OC= × =   ②过点D作DP 2 ⊥AB 则△BDP 2 ∽△BCO ∴ ， ∵BC= ∴