Question

设f(x)是定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)的奇函数，且它在区间(-∞，0)上单调增。（1）用定义证明：f(x)在(0

设f(x)是定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)的奇函数，且它在区间(-∞，0)上单调增。（1）用定义证明：f(x)在(0，+∞)上的单调性；（2）若mn＜0且m+n＜0，试判断f(m)+f(n)的符号；（3）若f(1)=0，解关于x的不等式f[log a (x-1)+1]＞0。

Answer 1

（1）证明：设 ，且 ， 则 ，且 ， 由已知函数在(-∞，0)上单调递增，得： ， 又函数是奇函数，有 ，即 ， 得到： ，所以函数在(0，+∞)上递增函数。 （2）解：不妨设m＞0，n＜0， 则由已知m+n＜0 0＜m＜-n， 已知函数在(0，+∞) 上递增， 故有：f(m)＜f(-n)=-f(n)，得f(m)+f(n)＜0。 （3）由 及函数在(-∞，0)和(0，+∞)上递增， 可知： 或 ， 即 或 ， 当a＞1时，x＞2或 ； 当0＜a＜1时，1＜x＜2或 ； 综上所述：当a＞1时，不等式的解集为{x| x＞2或 }； 当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|1＜x＜2或 }。