Question

已知向量 α ，β，γ满足| α |＝1，|α－ β |＝| β |，( α － γ )·( β － γ )＝0.若对每一个确

已知向量 α ，β，γ满足| α |＝1，|α－ β |＝| β |，( α － γ )·( β － γ )＝0.若对每一个确定的 β ，|γ|的最大值和最小值分别为m，n，则对任意 β ，m－n的最小值是(　　) A． B．1 C．2 D．



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Answer 1

A

方法一，设 α ＝(1，0)，β＝ ，γ＝(x，y)，由( α － γ )·( β － γ )＝0，得(x－1，y) ＝0，即x 2 － x＋ ＋y 2 －ty＝0，配方得 .|γ|的几何意义是圆上的点到坐标原点的距离，其最大值为圆心到坐标原点的距离加圆的半径，最小值为圆心到坐标原点的距离减去圆的半径，最大值与最小值之差为圆的直径，故m－n＝2 ≥ ，当且仅当t＝0时等号成立，此时 β ＝ . 方法二，将向量 α ，β，γ的起点放在点O，终点分别记作A，B，C.由| α － β |＝| β |可知点B在OA的垂直平分线上．根据( α － γ )·( β － γ )＝0知点C在以AB为直径的圆上，则m－n为圆的直径．又因为OB＝AB，故只要OB最小即得，结合图形，在点B为OA的中点时取得，即m－n的最小值为 .