已知:如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D是AC的中点,CB的延长线交过A、B、D三点的圆于点E.(1)判断线

已知:如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D是AC的中点,CB的延长线交过A、B、D三点的圆于点E.(1)判断线段AE与CE之间的数量关系,并加以证明;(2)若过A... 已知:如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D是AC的中点,CB的延长线交过A、B、D三点的圆于点E.(1)判断线段AE与CE之间的数量关系,并加以证明;(2)若过A、B、D三点的圆记为⊙O,过E点作⊙O的切线交AC的延长线于点F,且CD:CF=1:2,求:cosF的值. 展开
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蓝糖曲奇a0
2014-12-19 · TA获得超过108个赞
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(1)AE=CE;
证明:接结BD,
∵点D是AC的中点,∠ABC=90°,
∴BD=CD,
∴∠CBD=∠DCB,
又∵四边形ADBE是圆内接四边形,
∴∠CBD=∠CAE,
∴∠CAE=∠ACE,
∴AE=CE;

(2)解:∵∠ABE=90°,
∴AE是直径,
∵EF是过点E的切线,
∴∠AEF=90°;
∵CD:CF=1:2,CD=
1
2
AC,
∴AC=CF,点C是Rt△AEF的斜边上的中点,
∴AC=CE,
由1中的AE=CE知,AE=CE=AC,
∴△ACE是等边三角形,∠FAE=60°,
∴∠F=30°,cosF=
3
2
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