Question

在数列{an}中，a1=1，an+1=an+c（c为常数，n∈N*），a1，a2，a5构成公比不等于1的等比数列．记bn=1anan+1

在数列{an}中，a1=1，an+1=an+c（c为常数，n∈N*），a1，a2，a5构成公比不等于1的等比数列．记bn=1anan+1（n∈N*）．（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）设{bn}的前n项和为Rn，是否存在正整数k，使得Rk≥2k成立？若存在，找出一个正整数k；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）∵a_n+1=a_n+c，a=1，c为常数，
∴{a_n}是以1为首项，c为公差的等差数列，∴a_n=1+（n-1）c．…（2分）
∴a₂=1+c，a₅=1+4c．
又a₁，a₂，a₅成等比数列，∴（1+c）²=1+4c，
解得c=0或c=2．
当c=0时，a_n+1=a_n不合题意，舍去．∴c=2．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a_n=2n-1．…（5分）
∴bn＝

1

anan+1

＝

1

(2n?1)(2n+1)

＝

1

2

(

1

2n?1

?

1

2n+1

)…（6分）
∴Rn＝b1+b2+…+bn＝

1

2

[(1?

1

3

)+(

1

3

?

1

5

)+…+(

1

2n?1

?

1

2n+1

)]=

1

2

(1?

1

2n+1

)＝

n

2n+1

．…（9分）
假设存在正整数k，使得Rk≥2k，即

k

2k+1

≥2k，
∵

k

2k+1

＝

1

2+ 1 k

随k的增大而增大，∴

k

2k+1

∈[

1

3

，

1

2

)，而2^k≥2
∴不存在正整数k，使得Rk≥2k成立．…（12分）