Question

设f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，f（x）与g（x）的图象关于x=1对称，且当x∈[2，3]时，g（x）=6（x-2

设f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，f（x）与g（x）的图象关于x=1对称，且当x∈[2，3]时，g（x）=6（x-2）-2（x-2）3．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的单调区间及最小值．

Answer 1

（1）当-1≤x≤0时，2-x∈[2，3]，且y=f（x）上任意的点P（x，y）
关于直线x=1的对称点P'（2-x，y）都在y=g（x）图象上．
∴f（x）=g（2-x）=6（2-x-2）-2（2-x-2）³=2x³-6x
又f（x）是偶函数
∴0＜x≤1时，f（x）=6x-2x³，
∴f(x)＝

2x3?6x(?1≤x≤0) 6x?2x3(0＜x≤1)

（2）当-1≤x≤0时，f‘（x）=6x²-6＜0
∴f（x）在[-1，0]单调减，
当0＜x≤1时，f‘（x）=6-6x²＞0
∴f（x）在（0，1]单调增，
∴单调递减区间为[-1，0]，单调递增区间为（0，1]；最小值为f（0）=0．