Question

如图，AB为半圆O的直径，点C在半圆O上，过点O作BC的平行线交AC于点E，交过点A的直线于点D，且∠D=∠BAC．

如图，AB为半圆O的直径，点C在半圆O上，过点O作BC的平行线交AC于点E，交过点A的直线于点D，且∠D=∠BAC．（1）求证：AD是半圆O的切线；（2）若BC=2，CE= ，求AD的长．

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

Answer 1

（1）证明：∵AB为半圆O的直径， ∴∠BCA=90°． 又∵BC∥OD， ∴OE⊥AC． ∴∠D+∠DAE=90°． ∵∠D=∠BAC， ∴∠BAC+∠DAE=90°． ∴AD是半圆O的切线． （2）解：∵BC∥OD， ∴△AOE∽△ABC， ∵BA=2AO， ∴ = = ， 又CE= ， ∴AC=2CE= ． 在Rt△ABC中，AB= = ， ∵∠D=∠BAC，∠ACB=∠DAO=90°， ∴△DOA∽△ABC． ∴ 即 ． ∴ ．