Question

已知等差数列{a n }中a 1 =1，公差d＞0，前n项和为S n ，且S 1 ，S 3 -S 2 ，S 5 -S 3 成等比数列．（I）

已知等差数列{a n }中a 1 =1，公差d＞0，前n项和为S n ，且S 1 ，S 3 -S 2 ，S 5 -S 3 成等比数列．（I）求数列{a n }的通项公式a n 及S n ；（Ⅱ）设 b n = 1 S n (n∈N?) ，证明：b 1 +b 2 +…+b n ＜2．

Answer 1

（Ⅰ）由题意S 1 =a 1 =1，S 3 -S 2 =a 3 =1+2d，S 5 -S 3 =a 4 +a 5 =2+7d， ∵S 1 ，S 3 -S 2 ，S 5 -S 3 成等比数列， ∴（1+2d） 2 =1×（2+7d）， 解得 d=- 1 4 （舍去）或d=1 ∴a n =n， S n = n(n+1) 2 ． （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得 b n = 1 S n = 2 n(n+1) =2( 1 n - 1 n+1 ) ∴b 1 +b 2 +…+b n = 2[(1- 1 2 )+( 1 2 - 1 3 )+…+( 1 n - 1 n+1 )] = 2(1- 1 n+1 ) ＜2 即b 1 +b 2 +…+b n ＜2．