Question

设函数f（x）对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2（1）证明f（x

设函数f（x）对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2（1）证明f（x）为奇函数．（2）证明f（x）在R上是减函数．（3）若f（2x+5）+f（6-7x）＞4，求x的取值范围．

Answer 1

（1）由于函数f（x）对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），令x=y=0，可得f（0）=0． 再令y=-x，可得f（x-x）=f（x）+f（-x），即 0=f（x）+f（-x），化简可得f（-x）=-f（x），故函数f（x）为奇函数． （2）设x 1 ＜x 2 ，则△=x 2 -x 1 ＞0，∵f（x+y）=f（x）+f（y），∴f（ x 2 -x 1 ）=f（x 2 ）-f（x 1 ）． 再由当x＞0时，f（x）＜0，可得 f（ x 2 -x 1 ）＜0，即-f（x 1 ）+f（x 2 ）＜0，故有f（x 1 ）＞f（x 2 ）， 故f（x）在R上是减函数． （3）若f（2x+5）+f（6-7x）＞4，则f（2x+5+6-7x）=f（11-5x）＞4． 再由f（1）=-2，可得f（ 11-5x）＞f（-2），结合f（x）在R上是减函数可得 11-5x＜-2，解得x＞ 13 5 ， 故x的范围为 （ 13 5 ，+∞）．