Question

设数列{a n }的前n项和为S n ，且S n =2a n -1（n∈N + ）．（Ⅰ）求证数列{a n }是等比数列，并求{a n }

设数列{a n }的前n项和为S n ，且S n =2a n -1（n∈N + ）．（Ⅰ）求证数列{a n }是等比数列，并求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设数列{na n }的前n项和为T n ，求T n 的表达式；（Ⅲ）对任意n∈N + ，试比较 T n 2 与 S n 的大小．

Answer 1

（Ⅰ）由S n =2a n -1得S n+1 =2a n+1 -1，二式相减得：a n+1 =2a n+1 -2a n ， ∴ a n+1 a n =2 ，∴数列{a n }是公比为2的等比数列，（3分） 又∵S 1 =2a 1 -1，∴a 1 =1，∴a n =2 n-1 ．（5分） （Ⅱ）∵na n =n2 n-1 ， ∴T n =1?2 0 +2?2 1 +3?2 2 +…+（n-1）?2 n-2 +n?2 n-1 ① 2T n =1?2+2?2 2 +…+（n-2）?2 n-2 +（n-1）?2 n-1 +n?2 n ，②（7分） ①-②得-T n =1+2+4+…+2 n-2 +2 n-1 -n?2 n = 1- 2 n 1-2 -n 2 n = 2 n -1-n 2 n ， ∴T n =n2 n -2 n +1=（n-1）2 n +1．（9分） （Ⅲ）∵ S n = 1- 2 n 1-2 = 2 n -1 ， ∴ T n 2 - S n = 1 2 (n 2 n - 2 n +1)-( 2 n -1)=(n-3) 2 n-1 + 3 2 ，（11分） ∴当n=1时， T 1 2 -S 1 =- 1 2 ＜0，当n=2时， T 2 2 -S 2 =- 1 2 ＜0，； 当n≥3时， T n 2 -S n ＞0．（13分） 综上，当n=1或n=2时， T n 2 ＜ S n ；当n≥3时， T n 2 ＞ S n ．（14分）