Question

已知：△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AB为直径的⊙O交BC于点D．（1）如图①，当∠A为锐角时，AC与⊙O交于点E，

已知：△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AB为直径的⊙O交BC于点D．（1）如图①，当∠A为锐角时，AC与⊙O交于点E，联结BE，则∠BAC与∠CBE的数量关系是∠BAC=______∠CBE；（2）如图②，若AB不动，AC绕点A逆时针旋转，当∠BAC为钝角时，CA的延长线与⊙O交于点E，联结BE，（1）中∠BAC与∠CBE的数量关系是否依然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

（1）∠BAC与∠CBE的关系是：∠BAC=2∠CBE．
理由如下：连接AD，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC．
又∵AB=AC，
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC．
又∵∠CAD=∠CBE，
∴∠BAC=2∠CBE．
故答案为：2．
（2）成立．
理由如下：连接AD．
∵AB为直径，
∴AD⊥BC，
又∵AB=AC，
∴∠BAD=

1

2

∠CAD=

1

2

∠BAC，
∵∠CAD+∠DAE=180°，∠CBE+∠DAE=180°，
∴∠CAD=∠CBE，
∴∠BAC=2∠CBE．