Question

设F1，F2分别是双曲线x2a2?y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P满足|PF2|=|F1F2|

设F1，F2分别是双曲线x2a2?y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P满足|PF2|=|F1F2|且cos∠PF1F2=45，则双曲线的渐近线方程为（　　）A．3x±4y=0B．3x±5y=0C．4x±3y=0D．5x±4y=0

Answer 1

依题意|PF₂|=|F₁F₂|，可知三角形PF₂F₁是一个等腰三角形，F₂在直线PF₁的投影A是线段PF₁中点，
由勾股定理知可知|PF₁|=2|F₁A|=2|F₁F₂|cos∠PF₁F₂=2×2c×

4

5

=

16c

5

，
根据双曲定义可知|PF₁|-|PF₂|=2a，
即

16c

5

-2c=2a，整理得c=

5

3

a，代入c²=a²+b²整理得4b=3a，求得

b

a

=

3

4

∴双曲线渐近线方程为y=±

3

4

x，即3x±4y=0
故选A．