Question

等价无穷小的问题，等价无穷小需要等到0/0型才可以用吗，例如，lim（x->0）sinx/（x^4+2 x）

例如，lim（x->0）sinx/（x^4+2x），当x趋向0时，sinx=0而（x^4+2x）也等于0。

Answer 1

sinx和（x^4+2x）显然不是等阶无穷小。

记忆中应该将两者微分降阶再比较，sinx的一阶导数是conX，x^4+2x的一阶导数是4x^3+2，显然4x^3+2更小，则lim（x->0）sinx/（x^4+2x）=∞。

追问

sinx和（x^4+2x）显然不是等阶无穷小，这个有什么意义？是什么意思？

追答

等阶无穷大（或者无穷小）的比值是一个常数，不等阶的无穷大（或者无穷小）的比值不是无穷大就是无穷小。

最简单的例子，X和X^2，当X趋于0的时候，都是无穷小，但是前者为一阶无穷小，后者为二阶无穷小，不等阶，如果用X除以X^2，则当X趋于0的时候，该式子等于无穷大。

如果求导数，X的一阶导数等于1，x^2的一阶导数等于x/2，两者再比较当X趋于0时他们的值，就可以知道如果两者相除，结果是无穷大。当然这里实际上可以将X/X^2约分成1/X，更容易看出来。但是如果两者是不同的函数，不能约分，就只能求出它们的导数来判断，当一阶导数还不能判断出来的话，还可以求出二阶导数甚至多阶导数，直到能判断为止。

追问

我再说的是等价无穷小的替换问题，我问的是是不是只有在0/0型才可以用等价无穷小的替换这个方法，书上的答案是“当x—>0时，sinx~x，而无穷小x^4+2x与它自身显然是等价的”那么这个与它自身显然是等价的意思是，因为limg、（x—>0）（x^4+2x）/（x^4+2x）=1。跟自反性是一个意思吗？

追答

个人认为：不是“等价无穷小需要等到0/0型才可以用”，而是“当0/0的时候，需要用上等价无穷小”。

追问

那么我这样说正确吗？：除加减外，只有当lim（x—>x0）f（x）/g（x）或lim（x—>x0）f（x）*g（x）时，f（x）、g（x）都要趋向0才可以使用等价无穷小替换？？

追答

是的，当lim（x—>x0）f（x）/g（x），f（x）、g（x）都要趋向0才可以（或者说需要）使用等价无穷小替换;

同理：当lim（x—>x0）f（x）/g（x），f（x）、g（x）都要趋向∞才可以（或者说需要）使用等价无穷大替换;

f（x）、g（x）都要趋向0时，lim（x—>x0）f（x）*g（x）必定趋于0，或者f（x）、g（x）都趋于∞时，lim（x—>x0）f（x）*g（x）趋于∞，两者都不需要用到等价（无穷大或者无穷小）代换。