Question

（2014?广东模拟）如图，椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦点为F1，右焦点为F2，过F1的直线交椭圆于A

（2014?广东模拟）如图，椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦点为F1，右焦点为F2，过F1的直线交椭圆于A、B两点，△ABF2的周长为8，且△AF1F2面积最大时，△AF1F2为正三角形．（1）求椭圆E的方程；（2）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q，证明：点M（1，0）在以PQ为直径的圆上．

Answer 1

（1）∵过F₁的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF₂的周长为8，
∴4a=8，a=2．
∵△AF₁F₂面积最大时，△AF₁F₂为正三角形，
∴e=

1

2

，即

c

a

＝

1

2

，
∴c=1，
∴b²=a²-c²=3．
∴椭圆E的方程为

x2

4

+

y2

3

＝1；
（2）由

y＝kx+m x2 4 + y2 3 ＝1

，消元可得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0．
∵动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x₀，y₀），
∴m≠0，△=0，
∴（8km）²-4×（4k²+3）×（4m²-12）=0．
∴4k²-m²+3=0．
此时x₀=?

4km

4k2+3

=?

4k

m

，y₀=

3

m

，
即P（?

4k

m

，

3

m

）
由

y＝kx+m x＝4

，得Q（4，4k+m）．
取k=0，m=

3

，此时P（0，

3

），Q（4，

3

），
以PQ为直径的圆为（x-2）²+（y-

3

）²=4，交x轴于点M₁（1，0）或M₂（3，0）．
取k=-

1

2

，m=2，此时P（1，

3

2

），Q（4，0），
以PQ为直径的圆为（x-

5

2

）²+（y-

3

4

）²=

45

16

，交x轴于点M₃（1，0）或M₄（4，0）．
故若满足条件的点M存在，只能是M（1，0），
证明如下∵

MP

＝(?

4k

m

?1，

3

m

)，

MQ

＝(3，4k+m)，
∴

MP

?

MQ

＝?

12k

m

?3+

12k

m

+3＝0
故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M（1，0）．