Question

函数y=sin∧2(2x-1)的导数中的问题

y'=[sin²(2x-1)]'
=2sin(2x-1)*[sin(2x-1)]'
=2sin(2x-1)*cos(2x-1)*(2x-1)'
=[sin2(2x-1)]*2
=2sin(4x-2)
解答过程是这样，但是为什么要留下一个sin(2x-1)？？？这里很不明白！

Answer 1

可以将式子分解来看，不用管前面的2sin(2x-1)，只看后面的[sin(2x-1)]'，再把它当成一个复合函数求导来做，相信你就懂了吧！

追问

没有懂。。

追答

哪儿不懂？

追问

怎么把式子分解？？不用管前面的2sin(2x-1)是啥意思。。

追答

哦，是我看错了，你这样，设sin(2x-1)=u，原式就变成了y=u^2,对这个式子求导是不是y'=2u*u'?再将u代入就好了，以后这种题想不清楚的时候可以设一个新未知量让题目变得清楚一点。

追问

恩。。按你的话来理解，u是可以把它看作一个自变量x吧？但是y=x^a中，y'=ax^a-1

但是为什么又等于了y'=2u*u'呢？我就卡在这里了！

追答

不对不对，你理解错了，u它代表的不是单纯的一个自变量，而是式子sin(2x-1)，虽然u是变量，但它不是这个函数的自变量，这个函数的自变量是谁？是x。打个比方来说y=(sinx)^2,这里面谁是自变量？x吧，你可以设u=sinx，原式变成了y=u^2,u=sinx,这是你对y求导可以把u当成一个自变量，但实际它不是！它是一个式子，这是复合函数的求导方式，你们是不是没学呢？

追问

学了，但是老师说教材上的我们理解不了，换了种方式给我们讲。当时我理解了，现在放假过一个月全忘了。。好吧回到话题。我看了下教材，那么我用我的理解方式写一次吧。y=(sinx)^2中，看作函数y=sinu 和u=x的复合函数，根据复合函数求导法则有 y'=(sin^2u)'*（x）' 然后我就不会sin^2的求导，书上只说了一次方的，多次方的我就不会了。。为什么要留下一个sinx呢？

追答

你写的我咋看不懂啊？啥u=x，这不是没意义啊，另外你让u等于自变量，这不是多此一举啊，引入新变量的作用就是代替原式中较为繁琐的式子。

追问

恩..那好吧，抛开这个吧。拿回y=u^2这个说。为什么要留下一个u再对u求导一次呢？就是有什么公式依据吧。如果用复合函数的求导公式来做，过程多了些，但最终合起来是y'=2u*u'，但我总觉得有更简便的！

追答

呼……你这个问题太纠结了，学弟啊，作为一名已经毕业的学长，我要告诉你，这个复合函数求导就是按书上给的方法那么用，要问为什么还要对u求一次导，这是公式，没有什么原因，我用的方法就是复合函数的求导方式。你的异议我觉得可能你把复合函数求导的公式理解错了，或者你想多了，这很正常，多练练就好了。这样吧，你把复合函数的求导公式说一遍，再加以必要的解释，我看看你理解的对不对

追问

恩...对于f(x)g(x)的求导，有f'(x)g(x)+f(x)g'(x) 但是你一步就合并同类项了，到了y'=2u*u'，并没有分好几步写，这样是你做题多了的缘故知道一步到位，还是真有这样的公式呢。。

追答

果然理解的不对啊，你说的是两个函数相乘的求导法则，并不是复合函数的求导法则啊！我现在告诉你所谓复合函数求导，基本式子就是[u(v)]'=[u'(v)]*v' （u(v）为复合函数f[g(x)]）复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数--称为链式法则。你的概念需要在明确一下

追问

恩...就拿回y=sin∧2(2x-1)说吧。根据你给的链式法则，[u(v)]'=[u'(v)]*v' ，是不是应该第一步：[sin∧2(2x-1)]'*(2x-1)'，然后下一步我就不会了。。。[sin∧2(2x-1)]'该怎么导

追答

这个复合函数的求导啊，你得把它变成自己熟悉的形式，你说的那个题是属于多重复合函数，你把v当成(2x-1)不好求导，那就把v当成sin(2x-1)不就行了？之后对sin(2x-1)求导就相当于又是一个复合函数的求导呗。